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      "body": "3월의 시작을 아름답게 보내세요^^\n그리고 진정한 스팀KR 에어드롭!\n[골든티켓x짱짱맨x워니프레임] 9차 옴팡이 이모티콘 증정 천명 이벤트! 그 첫번째 250명 !\nhttps://steemkr.com/kr/@goldenticket/x-x-9-250\n",
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      "body": "# Introduction\n\n안녕하세요. @kjs105 입니다. 개강 전 에너지 충전(?)을 위해 푹 쉬느라 글을 쓰지 못했네요.\n주말 내내 무기력했는데 이제 공부를 다시 시작하고 글도 가볍게 써보려고 합니다.\n\n저번 시간에는 집합 *S*와 그 위에 정의된 equivalence relation ~ 으로 quotient set *S*/~ 를 정의 했었습니다. 이번 시간에는 제가 알고있는 중요한 예시 몇가지에 대해서 알아보려고 합니다.\n\n\n## 1. ℚ: the set of rational numbers\n우리는 유리수에 대해서 잘 알고 있습니다, 하지만 어떻게 수학적으로 엄밀히 정의하는지 잘 모를거에요.\n\n집합 *X* 를 다음과 같이 정의하겠습니다: \n\n> *X* :=ℤ×(ℤ∖{*0*})\n\n다시 말해서, 첫번째 좌표는 정수이고 두번째 좌표는 *0* 이 아닌 정수인 모든 순서쌍들의 집합으로 *X* 를 정의해요.\n\n(눈치가 빠르신 분들은 첫번째 좌표가 유리수의 분자에 해당하고 두번째 좌표가 분모에 해당한다는 걸 아셨을 겁니다)\n\n그리고 relation ~ on *X* 를 다음과 같이 정의합니다:\n\n> (*a,b*)~(*c,d*) if and only if *ad*=*bc* \n\n(*ad*=*bc* 라는 조건은 주어진 두 유리수 *a/b*, *c/d* 가 같을 조건임을 알 수 있죠) \n\n그러면 이렇게 정의된 ~는 *X* 위에서 equivalence relation이 됩니다 (쉬운 연습문제이니 직접 체크해 보세요).\n\n그러면 유리수의 집합 ℚ를 quotient set을 이용해 다음과 같이 정의할 수 있어요:\n\n> ℚ:=X/~\n\n사실 X/~ 는 equivalence classes 들의 집합인데, [(a,b)] 를 a/b로 쓰기로 약속하면 우리가 익숙하게 알고 있는 유리수가 되죠.\n\n예시를 들어볼게요. *1* 곱하기 *4* = *2* 곱하기 *2* 입니다, 따라서 (*1*,*2*)~(*2*,*4*)가 되고, [(1,2)]=[(2,4)] 입니다. 결론은 1/2=2/4 죠.\n\n사실, 이 예시는 나중에 배울 **ring of fraction**의 특별한 경우입니다. 그리고 *X*/~ 는 set보다 추가 구조가 더 주어진 **Field** 이죠. 이 부분은 나중에 또 다루도록 합시다.\n\n\n## 2. ℝ: the set of real numbers\n\n저번에도 말씀드렸다시피 모든 실수의 집합 ℝ을 quotient set을 이용해서 만들 수 있었습니다:\n\n### Recall\n\n집합 *S* 를 다음과 같이 정의하겠습니다: \n\n> *S* := the set of Cauchy sequence in ℚ \n\n(Cauchy sequence는 다들 아시죠? 모르시면 구글링...)\n\n그리고 relation ~ on *S* 를 다음과 같이 정의합니다:\n\n> {a_n}~{b_n} if and only if *lim* a_n=*lim* b_n\n\n다시 말해서, 두 수열의 **극한값**이 같다면 같은 것으로 보자는 얘기죠.\n\n그러면 ~는 equivalence relation on *S* 가 됩니다 (마찬가지로 체크해 보세요)\n\n마찬가지로 실수의 집합 ℝ를 quotient를 이용해 다음과 같이 정의합니다:\n\n> ℝ:=*S*/~\n\n1번 경우와 마찬가지로 ℝ은 **Field**가 됩니다. \n\n### Remark\n1번과 2번 예시는 ℤ 로 부터 ℚ를 만들고 ℚ 로 부터 ℝ을 만드는 과정을 보여 줍니다. 꼭 숙지하세요.\n\n## 3. G/H: quotient group\n\n대수학에서 중요한 개념인 **quotient group**은 group 을 **subgroup**으로 정의되는 equivalence relation 으로 quotient 해서 정의 할 수 있습니다.\n\n이 예시는 제가 Group Theory 를 전개하면서 다시 다룰게요. 지금은 아무래도 equivalence relation과 quotient set을 알아보는 시간이니까... 아무튼 지금 미리 복선을 깔아둘 정도로 중요한 개념입니다.\n\n## 4. ℙ^*n*(*k*): Projective space\n이번에는 흥미를 위해 기하학에서 예시를 가져와 보겠습니다. (field 를 모르신다면, 사칙연산이 자유롭게 되는 집합을 생각하세요. 예를 들어서 ℚ,ℝ,ℂ 같은 것들.)\n\n일단은 *k*의 (*n*+*1*)-th Cartesian product *k*^(*n*+*1*) 를 생각하겠습니다. (감이 안오신다면, 익숙한 3차원 공간을 생각하세요.)\n\n그리고 여기에서 원점을 뺀 집합 *k*^(*n*+*1*)∖{(*0,0,···,0*)} 위에서 relation ~ 을 다음과 같이 정의할게요:\n\n> (a_0,a_1,···,a_n)~(b_0,b_1,···,b_n) if and only if (a_0,a_1,···,a_n)=(cb_0,cb_1,···,cb_n)  for c∈*k*∖{*0*}\n\n그러면 ~는 *k*^(*n*+*1*)∖{(*0,0,···,0*)} 위에서 equivalence relation이 됩니다 (이건 정말 쉬우니 한번 체크해 보세요).\n\n수학적으로 써놓으니 잘 안보일수도 있는데, 직관적인 정의를 말씀드리면, *k*^(*n*+*1*) 위에서 **원점을 지나는 직선** 위에 **원점이 아닌 두 점들**이 있으면 그 두 점들을 **같다**고 하는 겁니다.\n\n예를 들어, *k*=ℝ 인 경우를 생각해 보겠습니다. 정의에 따라서 (0,1,2)~(0,1/2,1) 입니다, 그리고 (0,1,2)~(0,1/2,1)는 3차원 공간 상에서 한 직선 위에 있죠. (그 직선이 뭘까요? 직선의 방정식은 고등학교 수학에서 배우셨을거에요)\n\n위에 정의한 것들을 이용하여자연수 *n*과 field *k* 에 대하여 **Projective space** (사영공간) 이라는 공간을 다음과 같이 정의할 수 있습니다:\n\n> ℙ^*n*(*k*):=(*k*^(*n*+*1*)∖{(*0,0,···,0*)})/~\n\n쉽게 말해서, 사영공간 ℙ^*n*(*k*)는 **n+1차원 공간에서 원점을 지나는 모든 직선들의 집합**이라고 할 수 있습니다.\n\n![1000px-Stereographic_projection_in_3D.svg.png](https://steemitimages.com/DQmdnCZvwPqkt3Uprd5374c7fc2HUwtSQuvrZWF8XkaV7wH/1000px-Stereographic_projection_in_3D.svg.png)\n(출처: Wikimedia)\n\n사영공간은 고전적인 대수기하학에서 많이 쓰이는 object 이며 다들 알아두시면 좋을 것 같아 한번 써보았습니다.\n\n#### 글을 마치며\n보시다시피 **Quotient** 는 수학에서 굉장히 많이 쓰이는 개념입니다. 애초에 quotient 라는 것이 **어떤 기준에 대하여 원소들을 분류하는 것**을 수학적으로 엄밀히 쓴거라서 거창하고 어려운 개념은 아니지만 굉장히 기초적이고 중요하므로 알아두시면 좋습니다.\n\n오늘은 이만 포스팅을 마치고 다음 시간에 **Group theory**로 다시 돌아오겠습니다. 감사합니다.",
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      "body": "제가 TDA는 잘 모르지만, 관련 수학 지식들에 대해서는 도움을 드릴수도 있겠네요. (대수위상이라던지..)\n\n일반인들도 읽을만한  글도 한번 쓰도록 해 보겠습니다. 코멘트 감사합니다!",
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      "body": "네. 응원드립니다. 개인적으로 [TDA](https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_data_analysis)도 최근에 관심있게 살펴보고 있어서, 아마 관련된 부분이 나오면 제가 질문을 드릴 수도 있을 것 같습니다. \n\n여담이지만, 순수수학과 더불어, (일반인들을 위한) 약간의 (쉽게 풀어쓴) 현재의 학문적 동향이나 숨겨진 비사 같은 것을 적어보셔도 괜찮을 듯 싶습니다. 부담드리는 것이 절대 아니니, 그냥 참고만 하시면 좋겠습니다. :)",
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      "body": "제가 tex는 지겹도록 많이 쳐봐서 힘들지는 않네요.. 애초에 순수수학이라 많은 독자층은 기대 안했지만 그래도 봐주시는 분들이 계셔서 힘이 납니다!\n꾸준히 쓰다보면 독자층도 꾸준히 늘지 않을까 싶네요.",
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      "title": "Appendix: What is the quotient set?",
      "body": "# Introduction\n저번시간에 어떤 집합 위에 정의된 equivalence relation의 개념과 예시에 대해 배웠습니다. 오늘은 지난번에 언급했던 quotient set 에 대해서 알아보고, 구체적인 예시를 들어보겠습니다. 그리고 Group의 Example들을 다룰 때 들었던 예시 ℤ/*n*ℤ 를 다시 설명해 보겠습니다. \n\n우선, *S* 를 set 이라고 두고 ~를 equivalence relation on *S* 라고 하겠습니다. any 원소 *x*∈*S*에 대하여 **Equivalence class** 라는 것을 정의 하겠습니다:\n\n## Definition\n![ql_f605c2cb0a97bc58ccfe0c8eebb83e54_l3.png](https://steemitimages.com/DQmXvaDh1kChhpuCiCQ5FwvfwHfR2vfj5gQPzhvoZsGEugm/ql_f605c2cb0a97bc58ccfe0c8eebb83e54_l3.png)\n\n다시 말해서, *x*∈*S*의 equivalence class [*x*]는 *S*의 원소 중에서 x와 ~로 relation이 있는 것들을 원소로 갖는 집합입니다. 나은 이해를 위해 예시를 들어보겠습니다:\n\n## Example\nℤ 위에서 equivalence relation 을 생각할 수 있는데 대표적인 예가 저번  글에서 말씀드렸던 ≡ (*mod* *n*) 입니다 (*n*은 정수).\n\n보다 구체적으로 보기 위해서 *n*=*5*라고 합시다. 그러면 equivalence classes 들은 다음과 같이 됩니다:\n> ······\n> [0]={···,-10,-5,0,5,10,···}=5ℤ\n> [1]={···,-9,-4,1,6,11,···}=1+5ℤ\n> [2]={···,-8,-3,2,7,12···}=2+5ℤ\n> [3]={···,-7,-2,3,8,13···}=3+5ℤ\n> [4]={···,-6,-1,4,9,14,···}=4+5ℤ\n> ······\n\n이것은 equivalence class의 정의로 부터 쉽게 알 수 있습니다 (체크해 보세요).\n> [a] 의 원소는 *a*≡*b* (*mod* *5*)인 모든 *b*∈ℤ 입니다. 다시 말해서, *a*와 *b*를 5로 나누었을 때 나머지가 같은 정수 *b* 들을 원소로 갖는다는 말입니다.\n\n이 예시로 알 수 있는 놀라운 점이 있습니다:\n\n> ≡ (*mod* *5*) 에 대하여 다른 원소 *a,b*∈ℤ 들에 대해서는 [*a*] 와 [*b*]가 다르구요, 심지어 [*a*]와 [*b*]의 교집합이 공집합 입니다.\n> ≡ (*mod* *5*) 에 대하여 같은 원소 *a,b*∈ℤ 들에 대해서는 [*a*]와 [*b*]가 같습니다.\n> 모든 *a*∈ℤ에 대하여 [*a*]를 합집합 하면 전체 집합 *S* 가 됩니다.\n\n이를 일반적인 set *S* 와 equivalence relation ~ on *S* 에도 생각해 볼 수 있습니다:\n\n### Proposition\n![partitionprop.png](https://steemitimages.com/DQmTh1G4vk65H3DWDSgd3SnTVLktDzsjFRVgxaNDSsPb7y8/partitionprop.png)\n\n이러한 성질을 equivalence classes 가 *S*의 **partition** 을 만든다고 합니다. (the equivalence classes form a partition of *S*) \n\n이 proposition을 다음과 같이 증명할 수 있습니다:\n\n### Proof\n![partitionpropproof.png](https://steemitimages.com/DQmNvY8aXBx2vQHWWsvERd6mhcapiQgVzrWwHpxo12G3SFn/partitionpropproof.png)\n\n자, 그럼 집합 *S*의 partition이라는게 무슨 의미일까요? 말 그대로 *S*를 쪼갠다는 의미입니다. 위의 예시 ℤ에서 the equivalence classes under ≡ (*mod* *5*) 가 ℤ를 5등분으로 쪼개는 것을 알 수 있습니다:\n\n> ℤ=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]\n\n마지막으로 대망의 **quotient set**을 정의하겠습니다:\n# Definition\n![quotientset.png](https://steemitimages.com/DQmQVKhBNYNZUXyrB5sdeuktioc6aUzyyS9XpLmZz6nX4Xi/quotientset.png)\n\n그러면 앞의 Proposition에 의해서 *S*/~ 는 *S* 의 partition이 됩니다.\n \n> ex)  ℤ/≡ (*mod* *5*)={[0],[1],[2],[3],[4]}\n\n그리고 ℤ/5ℤ=ℤ/≡ (*mod* *5*) 임을 알 수 있습니다 (as a set). \n\n일반적인 정수 *n*에 대해서도 ℤ/*n*ℤ=ℤ/≡ (*mod* *n*) 입니다.\n\n### 글을 마치며\n다음시간에는 quotient set 의 중요한 예시들을 소개하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.",
      "json_metadata": "{\"tags\":[\"kr-newbie\",\"kr-math\",\"kr-science\",\"kr\",\"jjangjjangman\"],\"image\":[\"https://steemitimages.com/DQmXvaDh1kChhpuCiCQ5FwvfwHfR2vfj5gQPzhvoZsGEugm/ql_f605c2cb0a97bc58ccfe0c8eebb83e54_l3.png\",\"https://steemitimages.com/DQmTh1G4vk65H3DWDSgd3SnTVLktDzsjFRVgxaNDSsPb7y8/partitionprop.png\",\"https://steemitimages.com/DQmNvY8aXBx2vQHWWsvERd6mhcapiQgVzrWwHpxo12G3SFn/partitionpropproof.png\",\"https://steemitimages.com/DQmQVKhBNYNZUXyrB5sdeuktioc6aUzyyS9XpLmZz6nX4Xi/quotientset.png\"],\"app\":\"steemit/0.1\",\"format\":\"markdown\"}"
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      "body": "마침 몇일 전에 아는 동생이 공부하다가 모르는거 있다고 저한테 물어본게, 합동식이랑 equivalence relation , quotient set 이거였는데, 문제가 상집합?이었나 우리말로 물어봐서 당황했던 기억이 있습니다. 동생한테 잘 알고 싶으면 이글을 참조하라고 해도 좋을 것 같습니다.",
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      "body": "읽어주셔서 감사합니다. 스팀 내 수학에 관심 있으신 분들께 도움이 되면 좋겠네요. \n꾸준히 하면 내부에서도 많이 봐줄거라고 생각하고 있습니다!",
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      "body": "자세한 설명 좋네요. 이런 글들이 스팀을 살찌우게할 것이라 생각합니다. 이런글이 스팀 내부보다 외부에서 검색으로 한번 보고 지나가는 경우가 더 많다는게 아쉽습니다.",
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